Наименьшее общее кратное - ГДЗ ответы учебник Виленкин Жохов 6 класс

179.  Найдите разложение на простые множители наименьшего общего кратного чисел а и b, если: а) а = 3 * 5, b = 7 * 5; б) а = 2 * 2 * 3 * 3 * 5, b = 2 * 2 * 3 * 7.

а) Обозначим наименьшее общее кратное чисел а и b
НОК(а;b). НОК(а;b) = НОК(3 * 5; 7 * 5) = 3 * 5 * 7 = 105

б) Обозначим наименьшее общее кратное чисел а и b
НОК(а;b). НОК(а;b) = НОК(2 * 2 * 3 * 3 * 5; 2 * 2 * 3 * 7) = 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7 = 1260



180. Найдите наименьшее общее кратное чисел а и b, если:
а) а = 2 * 2 * 3 * 5 * 5 и b = 2 * 3 * 3 * 3 * 5;
б) а = 3 * 3 * 7 * 7 и b = 2 * 3 * 3 * 5 * 7 * 7;
в) а = 2 * 2 * 5 * 5 * 11 и b = 2 * 2 * 3 * 5 * 11;
г) а = 2 * 5 * 5 * 7 и b = 2 * 2 * 5 * 5 * 7.

а) НОК(а;b) = 2 * 2 * 3 * 5 * 5 * 3 * 3 = 2700
б) НОК(а;b) = 3 * 3 * 7 * 7 * 2 * 5 = 4410
в) НОК(а;b) = 2 * 2 * 5 * 5 * 11 * 3 = 3300
г) НОК(а;b) = 2 * 5 * 5 * 7 * 2 = 700



181. Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 6 и 8;
б) 12 и 16;
в) 72 и 99;
г) 396 и 180;
д) 34, 51 и 68;
е) 168, 231 и 60.

а) 6 = 2 * 3; 8 = 2 * 2 * 2; HOK(6; 8) = 2 * 3 * 2 * 2 = 24

б) 12 = 2 * 2 * 3; 16 = 2 * 2 * 2 * 2; НОК(12; 16) = 2 * 2 * 3 * 2 * 2 = 48

в) 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3; 99 = 3 * 3 * 11; НОК(72; 99) = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 11 = 792

г) 396 = 2 * 2 * 3 * 3 * 11; 180 = 2 * 2 * 3 * 3 * 5; НОК(396; 180) = 2 * 2 * 3 * 3 * 11 * 5 = 1980

д) 34 = 2 * 17; 51 = 3 * 17; 68 = 2 * 2 * 17; НОК(34; 51; 68) = 2 * 17 * 3 * 2 = 204

е) 168 = 2 * 2 * 2 * 3 * 7; 231 = 3 * 7 * 11; 60 = 2 * 2 * 3 * 5; НОК(168; 231; 60) = 9240



182. Являются ли числа 54 и 65 взаимно простыми? Найдите наименьшее общее кратное чисел 54 и 65. Равно ли оно произведению 54 и 65? Запишите какие−нибудь два взаимно простых числа. Найдите наименьшее общее кратное этих чисел. Сделайте вывод.

Наименьшее общее кратное




183. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 45 и 135; б) 34 и 170. Равно ли оно одному из данных чисел?

а) Да равно. НОК(45; 135) = НОК(3 * 3 * 5; 3 * 3 * 3 * 5) = 3 * 3 * 5 * 3 = 135

б) Да равно. НОК(34; 170) = НОК(2 * 17; 2 * 5 * 17) = 2 * 5 * 17 = 170



184. Вдоль дороги от пункта А поставлены столбы через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 60 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого, кроме столба в точке А.

Необходимо найти НОК(45;60) = НОК(3 * 3 * 5; 2 * 2 * 3 * 5) = 3 * 3 * 5 * 2 * 2 = 180 м.



185. В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй − 20 суток и третий − 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трём маршрутам. Через сколько суток они впервые снова вместе уйдут в плавание?

Необходимо найти НОК(15; 20; 12) = НОК(3 * 5; 2 * 2 * 5; 2 * 2 * 3) = 3 * 5 * 2 * 2 = 60 суток.



186.  Вычислите устно:

Наименьшее общее кратное




187. Каждую из дробей а/5 и b/6 , где а и b − натуральные числа, можно представить в виде десятичной. Могут ли а и 5, b и 6 быть взаимно простыми? Могут ли два одинаковых числа быть взаимно простыми?

Числа а и 5 могут быть взаимно простыми, например, 13/5 = 2 , 6 . Числа b и 6 не могут быть взаимно простыми, так как при умножении 6 на любое натуральное число нельзя получит 10, 100, 1000 и т. д., а следовательно такую дробь нельзя будет представить в виде десятичной или 6 и b не будут взаимно простыми числами.



188. Найдите наибольший общий делитель для числителя и знаменателя дроби: а) 3/6 ; б) 14/21 ; в) 22/66 ; г) 39/65 .

Наименьшее общее кратное




189.  Какие из следующих утверждений верны:
а) два чётных числа не могут быть взаимно простыми;
б) чётное и нечётное числа всегда взаимно простые;
в) два различных простых числа всегда взаимно простые;
г) простое и составное числа могут быть взаимно простыми;
д) любое натуральное число и натуральное число, не являющееся ни простым, ни составным, обязательно взаимно простые;
е) последовательные натуральные числа всегда взаимно простые?

а) да верно, так как все чётные числа имеют делитель 2.

б) нет неверно, например: числа 10 и 25.

в) да верно, так как у них только один общий делитель − 1.

г) да верно, например: числа 5 и 6.

д) да верно, так как у них только один общий делитель − 1.

е) да верно, так как они отличаются на 1.



190.  Найдите наибольший общий делитель чисел:
а) 12 и 24; б) 6 и 9; в) 75 и 45; г) 81 и 243; д) 4725 и 7875.

а) НОД(12; 24) = НОД(2 * 2 * 3; 2 * 2 * 2 * 3) = 2 * 2 * 3 = 12
б) НОД(6; 9) = НОД(2 * 3; 3 * 3) = 3
в) НОД(75;45) = НОД(3 * 5 * 5; 3 * 3 * 5) = 3 * 5 = 15
г) Н0Д(81; 243) = НОД(3 * 3 * 3 * 3; 3 * 3 * 3 * 3 * 3) = 3 * 3 * 3 * 3 = 81
д) НОД(4725; 7875) = НОД(3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 7; 3 * 3 * 5 * 5 * 5 * 7) = 3 * 3 * 5 * 5 * 7 = 1575



191. Лист картона имеет форму прямоугольника, длина которого 48 см, а ширина 40 см. Этот лист надо разрезать без отходов на равные квадраты. Какие наибольшие квадраты можно получить из этого листа?

НОД(48; 40) = НОД(2 * 2 * 2 * 2 * 3; 2 * 2 * 2 * 5) = 2 * 2 * 2 = 8 см.



192. Число m кратно 12. Докажите, что число m делится на 4.

Если m кратно 12, то m = 12 * а, где а − некоторое целое число.
Это произведение будет делиться на 4, потому что на 4 делится 12.



193.  Назовите все двузначные числа, записанные одинаковыми цифрами. Найдите наибольший общий делитель всех этих чисел.

11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.
НОД(11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99) = 11.



194.  Сколько трёхзначных чисел можно составить из чётных цифр?

На место сотен место можно поставить одну из 4−х цифр (2,4,6,8).
На место десятков и единиц 3−е место можно поставить одну из 5−й цифр (0, 2, 4, 6, 8).
В итоге можно получить: 4 * 5 * 5 = 100.



195.  Запишите в виде дроби частные:

Наименьшее общее кратное



196. Запишите в виде частного дроби:

Наименьшее общее кратное




197. Запишите в виде обыкновенной дроби частные: 18 : 7; 23 : 8; 16 : 5; 343 : 14 и выделите целые части.

Наименьшее общее кратное



198. Найдите среднее арифметическое чисел: 3,8; 4,2; 3,5; 4,1.

(3,8 + 4,2 + 3,5 + 4,1) : 4 = 15,6 : 4 = 3,9.



199. Среднее арифметическое двух чисел равно 54. Одно число в 2 раза больше другого. Найдите эти числа.

Наименьшее общее кратное




200. Решите задачу:
1) В цистерне было 38 т керосина. В первый день израсходовали в 2,4 раза больше керосина, чем во второй день. К утру третьего дня в цистерне осталось 9,1 т керосина. Сколько тонн керосина израсходовали в первый день?
2) Утром на базе было 19 т муки. До обеда с базы выдали в 3,2 раза больше муки, чем после обеда. К вечеру на базе осталось 4,3 т муки. Сколько тонн муки выдали с базы до обеда?

Наименьшее общее кратное




201.  По таблице простых чисел (см. форзац) подсчитайте, сколько простых чисел в каждой из первых десяти сотен (т. е. среди чисел от 1 до 100, от 101 до 200 и т. д.). Заметили ли вы какие−либо закономерности в расположении простых чисел? Два простых числа, разность которых равна 2, называют близнецами. Найдите в таблице все пары чисел−близнецов. Какие из них самые большие? Сколько таких пар среди первых 500 натуральных чисел? среди чисел от 500 до 1000? Учёные до сих пор не знают, есть ли самая большая пара чисел−близнецов.

1−я сотня − 25, 2−я сотня − 21, 3−я сотня − 16 и далее: 16, 17, 14. 16, 14, 15, 14.

Какой−либо закономерности в расположении простых чисел не наблюдается. В таблице всего 35 пар чисел−близнецов: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

Самая большая пара чисел−близнецов 881 и 883. Среди первых 500 натуральных чисел 24 пары чисел−близнецов, среди чисел от 500 до 1000 − 11 пар.



202.  Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 18 и 45; б) 30 и 40; в) 210 и 350; г) 20, 70 и 15.

a) HOK(18; 45) = HOK(2 * 3 * 3; 3 * 3 * 5) = 2 * 3 * 3 * 5 = 90
б) НОК(30; 40) = НОК(30 = 2 * 3 * 5; 2 * 2 * 2 * 5) = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 = 120
в) НОК(210; 350) = = НОК(2 * 3 * 5 * 7; 2 * 5 * 5 * 7) = 2 * 3 * 5 * 5 * 7 = 1050
г) НОК(20; 70; 15) = НОК(2 * 2 * 5; 2 * 5 * 7; 3 * 5) = 2 * 2 * 3 * 5 * 7 = 420



203. Найдите наименьшее общее кратное чисел а и b, если: а) а = 5 * 5 * 7 * 13, b = 5 * 7 * 7 * 13; б) а = 504, b = 540.

а) Н0К(а,b) = 5 • 5 • 7 • 7 • 13 = 15925

б) НОК(а,b) = НОК(504, 540) = НОК(2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7,2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5) = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5 * 7 = 7560



204. Саша, Коля и Серёжа собрали 51 стакан малины. Серёжа собрал в 2 раза больше малины, чем Саша, а Коля − на 3 стакана больше, чем Саша. Сколько стаканов малины собрал каждый из мальчиков?

Наименьшее общее кратное




205. Масса первых трёх искусственных спутников Земли, запущенных в 1957−1958 гг., была равна 1918,9 кг. Найдите массу каждого из этих спутников, если масса второго была больше массы первого на 424,7 кг, а масса третьего больше массы второго на 818,7 кг.

Наименьшее общее кратное




206. Решите уравнение:

Наименьшее общее кратное




207. Запишите в виде дроби частные: 27 : 8; 72 : 8; 483 : 18; 1225 : 12 и выделите из них целые части.

Наименьшее общее кратное




208. Найдите среднее арифметическое чисел: 5,24; 6,97; 8,56; 7,32 и 6,23.

(5,24 + 6,97 + 8,56 + 7,32 + 6,23) : 5 = 34,32 : 5 = 6,864.



209. Поезд шёл 3 ч со скоростью 65,2 км/ч и 2 ч со скоростью 83,3 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда за эти 5 ч.

Наименьшее общее кратное




210. Найдите значение выражения: а) 51 − (3,75 : 3 + 86,45 : 24,7) * 2,4; б) (650 000 : 3125 − 196,5) * 3,14.

a) 51 − (3,75 : 3 + 86,45 : 24,7) * 2,4 = 51 − (1,25 = 3,5) * 2,4 = 51 − (1,25 = 3,5) * 2,4 = 51 − 11,4 = 39,64
б) (650 000 : 3125 − 196,5) • 3,14 = (208 − 196,5) • 3,14 = 36,11