§24. Комбинаторные задачи - Ответы (ГДЗ) к учебнику по математике 5 класс (Мерзляк Полонский Якир)
ВОПРОСЫ
1. Какие задачи называют комбинаторными?
Комбинаторные задачи - это задачи, решение которых требует рассмотрения и подсчета всех возможных случаев, или, как еще принято говорить, всех возможных комбнаций.
2. Как называют схему, с помощью которой удобно и наглядно решать комбинаторные задачи?
Схему, с помощью которой удобно и наглядно решать комбинаторные задачи, называют деревом возможных вариантов.
РЕШАЕМ УСТНО
1. Одним слоем бумаги оклеили куб, длина ребра которого равна 3 дм. Сколько квадратных дециметров бумаги потребовалось на оклеивание куба?
2. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 240 см3. Какая из следующих троек чисел может задавать измерения этого параллелепипеда:
3. Сколько центнеров пшеницы можно засыпать в бункер, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 8 м, ширина - 2 м, высота - 1 м, а масса 1 м3 зерна составляет 8 ц?
4. Что больше и на сколько: 1) квадрат суммы чисел 4 и 3 или сумма их квадратов; 2) разность квадратов чисел 10 и 8 или квадрат их разности; 3) разность кубов чисел 5 и 3 или куб их разности?
УПРАЖНЕНИЯ
645. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 1, 2 и 3 (цифры могут повторяться).
11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.
646. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 1, 2 и 0 (цифры могут повторяться).
10, 11, 12, 20, 21, 22.
647. У ослика Иа-Иа есть три надувных шарика: красный, зелёный и жёлтый. Он хочет подарить по одному своим друзьям: Винни-Пуху, Пяточку и кролику. Сколько у ослика Иа-Иа есть вариантов сделать подарки своим друзьям?
648. Сколько двузначных чисел, все цифры которых различны, можно составить из цифр 0, 1 и 2?
4 числа: 10, 12, 20, 21.
649. В футбольном турнире участвуют команды 5 "А" класса, 5 "Б" класса и 5 "В" класса. Сколько существует способов распределения первого и второго мест среди этих команд? Решение какой задачи из номеров 645 - 648 аналогично решению этой задачи?
650. Запишите все трёхзначные числа, для записи которых используются цифры: 1) 3, 4 и 6; 2) 4, 7 и 0.
1) 346, 364, 436, 463, 634, 643.
2) 470, 407, 740, 704.
651. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр: 1) 1 и 2; 2) 0 и 1.
1) 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222.
2) 100, 101, 111, 110.
652. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 2, 4, 9 и 0. (Цифры могут повторяться.)
20, 22, 24, 29, 40, 42, 44, 49, 90, 92, 94, 99.
653. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 6, 7, 8 и 9 так, чтобы цифры были записаны в порядке возрастания?
67, 68, 69, 78, 79, 89.
Ответ: 6 двузначных чисел можно составить.
654. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 6, 7, 8 и 9 так, чтобы цифры были записаны в порядке убывания?
76, 87, 86, 98, 97, 96.
Ответ: можно составить 6 двузначных чисел.
655. Сколько существует двузначных чисел, сумма цифр которых равна 5?
14, 23, 32, 41, 50.
Ответ: существует 5 двузначных чисел, сумма цифр которых равна 5.
656. Сколько двузначных чисел, сумма цифр которых равна чётному числу, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться)?
11, 13, 31, 33, 22, 24, 42, 44.
Ответ: 8 двузначных чисел, сумма цифр которых равна чётному числу, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4.
657. Сколько двузначных чисел, сумма цифр которых равна нечётному числу, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3?
10, 12, 21, 23, 30, 32.
Ответ: 6 двузначных чисел, сумма цифр которых равна нечётному числу, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3.
658. Кот Базилио и лиса Алиса решили украсть золотой ключик, который хранится в каморке папы Карло. Чтобы туда проникнуть, нужно подобрать двузначный код. Им известно, что дверь в каморку закрывает Буратино, который знает пока что только четыре цифры: 0, 1, 2 и 3. Какое наибольшее количество вариантов придётся перебрать коту и лисе, чтобы открыть дверь?
00, 01, 02, 03, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33.
Ответ: наибольшее число вариантов - 16.
659. Сколько существует различных прямоугольников, периметры которых равны 24 см, а длины сторон выражены целым числом сантиметров?
660. У Ани есть 30 одинаковых кубиков. Сколько различных прямоугольных параллелепипедов она может из них составить, если для построения одного параллелепипеда надо использовать все имеющиеся 30 кубиков?
661. На прямой отметили четыре точки А, В, С и D. Сколько отрезков с концами в отмеченных точках можно провести? Какой из рисунков § 24 помогает решить эту задачу?
662. Подножие горы и её вершину связывают три тропы. Сколько существует маршрутов, ведущих от подножия к вершине и затем вниз к подножию?
663. Спортивной команде предлагают футболки трёх цветов - красного, зелёного и синего, а шорты двух цветов - белого и жёлтого. Сколько вариантов выбора формы есть у команды?
664. У Тани есть четыре платья и две пары туфель. Сколько у Тани есть вариантов выбора наряда?
665. В отряде космонавтов есть три пилота и два инженера. Сколько существует способов составить экипаж, состоящий из одного пилота и одного инженера?
666. На рисунке 185 изображён план одного района города. Отрезками изображены улицы. Сколько существует маршрутов из точки А в точку В, если передвигаться разрешено по улицам, которые идут вверх и вправо?
667. В записи 1234 вместо каждой звездочки можно поставить один из знаков "+" или "". Чему равно наибольшее значение выражения, которое можно получить?
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
668. Расстояние между двумя сёлами равно 28 км. Из этих сёл одновременно в одном направлении выехали мотоциклист и автобус. Автобус ехал впереди со скоростью 42 км/ч, а мотоциклист ехал со скоростью 56 км/ч. Через сколько часов после начала движения мотоциклист догонит автобус?
669. Решите уравнение:
670. 1) Одно из слагаемых в 14 раз больше другого. Во сколько раз их сумма больше меньшего слагаемого?
2) Вычитаемое в 12 раз больше разности. Во сколько раз уменьшаемое больше разности?
671. На ферме есть 156 коров, каждая из которых даёт в день 12 л молока. Молоко с фермы вывозят в бидонах ёмкостью 40 л. В некоторый день на ферме было в наличии 42 пустых бидона. Хватит ли бидонов, чтобы вывезти с фермы надоенное за день молоко?
672. Решите кроссворд.
По горизонтали: 2. Результат арифметического действия. 3. Единица измерения времени. 4. Единица измерения углов. 5. Компонент умножения. 6. Компонент сложения.
По вертикали: 1. "Царица наук".
ЗАДАЧА ОТ МУДРОЙ СОВЫ
673. В классе 30 учащихся. Они сидят по двое за 15 партами так, что половина всех девочек сидят с мальчиками. Можно ли учеников класса пересадить так, чтобы половина всех мальчиков сидела с девочками?
1. Какие задачи называют комбинаторными?
Комбинаторные задачи - это задачи, решение которых требует рассмотрения и подсчета всех возможных случаев, или, как еще принято говорить, всех возможных комбнаций.
2. Как называют схему, с помощью которой удобно и наглядно решать комбинаторные задачи?
Схему, с помощью которой удобно и наглядно решать комбинаторные задачи, называют деревом возможных вариантов.
РЕШАЕМ УСТНО
1. Одним слоем бумаги оклеили куб, длина ребра которого равна 3 дм. Сколько квадратных дециметров бумаги потребовалось на оклеивание куба?
2. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 240 см3. Какая из следующих троек чисел может задавать измерения этого параллелепипеда:
3. Сколько центнеров пшеницы можно засыпать в бункер, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 8 м, ширина - 2 м, высота - 1 м, а масса 1 м3 зерна составляет 8 ц?
4. Что больше и на сколько: 1) квадрат суммы чисел 4 и 3 или сумма их квадратов; 2) разность квадратов чисел 10 и 8 или квадрат их разности; 3) разность кубов чисел 5 и 3 или куб их разности?
УПРАЖНЕНИЯ
645. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 1, 2 и 3 (цифры могут повторяться).
11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.
646. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 1, 2 и 0 (цифры могут повторяться).
10, 11, 12, 20, 21, 22.
647. У ослика Иа-Иа есть три надувных шарика: красный, зелёный и жёлтый. Он хочет подарить по одному своим друзьям: Винни-Пуху, Пяточку и кролику. Сколько у ослика Иа-Иа есть вариантов сделать подарки своим друзьям?
648. Сколько двузначных чисел, все цифры которых различны, можно составить из цифр 0, 1 и 2?
4 числа: 10, 12, 20, 21.
649. В футбольном турнире участвуют команды 5 "А" класса, 5 "Б" класса и 5 "В" класса. Сколько существует способов распределения первого и второго мест среди этих команд? Решение какой задачи из номеров 645 - 648 аналогично решению этой задачи?
650. Запишите все трёхзначные числа, для записи которых используются цифры: 1) 3, 4 и 6; 2) 4, 7 и 0.
1) 346, 364, 436, 463, 634, 643.
2) 470, 407, 740, 704.
651. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр: 1) 1 и 2; 2) 0 и 1.
1) 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222.
2) 100, 101, 111, 110.
652. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 2, 4, 9 и 0. (Цифры могут повторяться.)
20, 22, 24, 29, 40, 42, 44, 49, 90, 92, 94, 99.
653. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 6, 7, 8 и 9 так, чтобы цифры были записаны в порядке возрастания?
67, 68, 69, 78, 79, 89.
Ответ: 6 двузначных чисел можно составить.
654. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 6, 7, 8 и 9 так, чтобы цифры были записаны в порядке убывания?
76, 87, 86, 98, 97, 96.
Ответ: можно составить 6 двузначных чисел.
655. Сколько существует двузначных чисел, сумма цифр которых равна 5?
14, 23, 32, 41, 50.
Ответ: существует 5 двузначных чисел, сумма цифр которых равна 5.
656. Сколько двузначных чисел, сумма цифр которых равна чётному числу, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться)?
11, 13, 31, 33, 22, 24, 42, 44.
Ответ: 8 двузначных чисел, сумма цифр которых равна чётному числу, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4.
657. Сколько двузначных чисел, сумма цифр которых равна нечётному числу, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3?
10, 12, 21, 23, 30, 32.
Ответ: 6 двузначных чисел, сумма цифр которых равна нечётному числу, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3.
658. Кот Базилио и лиса Алиса решили украсть золотой ключик, который хранится в каморке папы Карло. Чтобы туда проникнуть, нужно подобрать двузначный код. Им известно, что дверь в каморку закрывает Буратино, который знает пока что только четыре цифры: 0, 1, 2 и 3. Какое наибольшее количество вариантов придётся перебрать коту и лисе, чтобы открыть дверь?
00, 01, 02, 03, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33.
Ответ: наибольшее число вариантов - 16.
659. Сколько существует различных прямоугольников, периметры которых равны 24 см, а длины сторон выражены целым числом сантиметров?
660. У Ани есть 30 одинаковых кубиков. Сколько различных прямоугольных параллелепипедов она может из них составить, если для построения одного параллелепипеда надо использовать все имеющиеся 30 кубиков?
661. На прямой отметили четыре точки А, В, С и D. Сколько отрезков с концами в отмеченных точках можно провести? Какой из рисунков § 24 помогает решить эту задачу?
662. Подножие горы и её вершину связывают три тропы. Сколько существует маршрутов, ведущих от подножия к вершине и затем вниз к подножию?
663. Спортивной команде предлагают футболки трёх цветов - красного, зелёного и синего, а шорты двух цветов - белого и жёлтого. Сколько вариантов выбора формы есть у команды?
664. У Тани есть четыре платья и две пары туфель. Сколько у Тани есть вариантов выбора наряда?
665. В отряде космонавтов есть три пилота и два инженера. Сколько существует способов составить экипаж, состоящий из одного пилота и одного инженера?
666. На рисунке 185 изображён план одного района города. Отрезками изображены улицы. Сколько существует маршрутов из точки А в точку В, если передвигаться разрешено по улицам, которые идут вверх и вправо?
667. В записи 1234 вместо каждой звездочки можно поставить один из знаков "+" или "". Чему равно наибольшее значение выражения, которое можно получить?
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
668. Расстояние между двумя сёлами равно 28 км. Из этих сёл одновременно в одном направлении выехали мотоциклист и автобус. Автобус ехал впереди со скоростью 42 км/ч, а мотоциклист ехал со скоростью 56 км/ч. Через сколько часов после начала движения мотоциклист догонит автобус?
669. Решите уравнение:
670. 1) Одно из слагаемых в 14 раз больше другого. Во сколько раз их сумма больше меньшего слагаемого?
2) Вычитаемое в 12 раз больше разности. Во сколько раз уменьшаемое больше разности?
671. На ферме есть 156 коров, каждая из которых даёт в день 12 л молока. Молоко с фермы вывозят в бидонах ёмкостью 40 л. В некоторый день на ферме было в наличии 42 пустых бидона. Хватит ли бидонов, чтобы вывезти с фермы надоенное за день молоко?
672. Решите кроссворд.
По горизонтали: 2. Результат арифметического действия. 3. Единица измерения времени. 4. Единица измерения углов. 5. Компонент умножения. 6. Компонент сложения.
По вертикали: 1. "Царица наук".
ЗАДАЧА ОТ МУДРОЙ СОВЫ
673. В классе 30 учащихся. Они сидят по двое за 15 партами так, что половина всех девочек сидят с мальчиками. Можно ли учеников класса пересадить так, чтобы половина всех мальчиков сидела с девочками?